\section{对称多项式}

\begin{frame}{对称多项式}

对称多项式是多元多项式中常见的一种， 本节就来介绍关于对称多项式的基本事实。 对称多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面， 是一元多项式根的研究。 因此我们从一元多项式的根与系数的关系开始。
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设
\begin{equation*}
f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n} \tag{1}
\end{equation*}
是 $P[x]$ 中的一个多项式。 如果 $f(x)$ 在数域 $P$ 中有 $n$ 个根 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$, 那么 $f(x)$ 就可以分解成
\begin{equation*}
f(x)=\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \cdots\left(x-\alpha_{n}\right) . \tag{2}
\end{equation*}
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把 (2) 展开， 与 (1) 比较， 即得根与系数的关系如下：
\[
  \left\{\begin{array}{rl}
  -a_{1} & =\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n},  \tag{3}\\
a_{2} & =\alpha_{1} \alpha_{2}+\alpha_{1} \alpha_{3}+\cdots+\alpha_{n-1} \alpha_{n}, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
(-1)^{i} a_{i} & =\sum \alpha_{k_{1}} \alpha_{k_{2}} \cdots \alpha_{k_{i}} \text { (所有可能的 } i \text { 个不同的 } \alpha_{k_{j}} \text { 的乘积之和), } \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
(-1)^{n} a_{n} & =\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{n} .
\end{array}\right.
\]

\end{frame}

\begin{frame}
由此看出， 系数是对称地依赖于方程的根的。
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换句话说，以下 $n$ 个 $n$ 元多项式
\begin{align*}\tag{4}
  \begin{cases}
  \sigma_{1}= & x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n},  \\
\sigma_{2}= & x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\sigma_{n}= & x_{1} x_{2} \cdots x_{n}
\end{cases}
\end{align*}
是对称地依赖于文字 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的。

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为了一般地引入对称多项式的概念，我们需要把``对称''的意义弄清楚。



\begin{definition}%定义 
$11 n$ 元多项式 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$, 如果对于任意的 $i, j, 1 \leqslant i<j \leqslant n$, 都有
\[
f\left(x_{1}, \cdots, x_{i}, \cdots, x_{j}, \cdots, x_{n}\right)=f\left(x_{1}, \cdots, x_{j}, \cdots, x_{i}, \cdots, x_{n}\right),
\]
那么这个多项式称为\emph{对称多项式}。
\end{definition}

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这就是说，如果任意对换两个文字的地位， $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 恒不变， 它就是一个对称多项式。

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例如
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{2} x_{1}+x_{1}^{2} x_{3}+x_{3}^{2} x_{1}+x_{2}^{2} x_{3}+x_{3}^{2} x_{2}
\]
就是一个三元对称多项式。

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当然， (4) 中的 $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}$ 都是 $n$ 元对称多项式， 它们称为\emph{初等对称多项式}。

\end{frame}

\begin{frame}
由对称多项式的定义可知，对称多项式的和、积以及对称多项式的多项式还是对称多项式。
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后一论断是说，如果 $f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), \cdots, f_{m}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$是 $n$ 元对称多项式，而 $g\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}\right)$ 是任一多项式，那么
\[
g\left(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{m}\right)=h\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
\]
是 $n$ 元对称多项式。

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特别地，初等对称多项式的多项式还是对称多项式。 关于对称多项式的基本事实就是，任一对称多项式都能表成初等对称多项式的多项式，即

\begin{theorem}%定理15 
  \label{154}
对于任意一个 $n$ 元对称多项式 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 都有一个 $n$ 元多项式 $\varphi\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$, 使得
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\varphi\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}\right) .
\]
\end{theorem}

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\begin{proof}
设对称多项式 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的首项 (按字典排列法) 为
\begin{equation*}
a x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \cdots x_{n}^{l_{n}}, \quad a \neq 0 \tag{5}
\end{equation*}
我们指出，(5) 作为对称多项式的首项，必有
\[
l_{1} \geqslant l_{2} \geqslant \cdots \geqslant l_{n} \geqslant 0 .
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
否则， 设有
\[
l_{i}<l_{i+1}
\]
由于 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 是对称的，所以 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 在包含 (5) 的同时必包含
\[
a x_{1}^{l_{1}} \cdots x_{i}^{l_{i+1}} x_{i+1}^{l_{i}} \cdots x_{n}^{l_{n}},
\]
这一项就应该先于 (5), 与首项的要求不符。
  
作对称多项式
  \begin{equation*}
  \varphi_{1}=a \sigma_{1}^{l_{1}-l_{2}} \sigma_{2}^{l_{2}-l_{3}} \cdots \sigma_{n}^{l_{n}} . \tag{6}
\end{equation*}
因为 $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}$ 的首项分别是 $x_{1}, x_{1} x_{2}, \cdots, x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$,于是 (6) 在展开之后，首项为
\[
a x_{1}^{l_{1}-l_{2}}\left(x_{1} x_{2}\right)^{l_{2}-l_{3}} \cdots\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{l_{n}}=a x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \cdots x_{n}^{l_{n}} .
\]
这就是说， $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 与 (6) 有相同的首项， 因而， 对称多项式
\[
f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)-a \sigma_{1}^{l_{1}-l_{2}} \sigma_{2}^{l_{2}-l_{3}} \cdots \sigma_{n}^{l_{n}}=f-\varphi_{1}
\]
比 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 有较 “小” 的首项。 
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
对 $f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 重复上面的做法，并且继续做下去，我们就得到一系列的对称多项式
\begin{equation*}
f, \quad f_{1}=f-\varphi_{1}, \quad f_{2}=f_{1}-\varphi_{2}, \cdots . \tag{7}
\end{equation*}
它们的首项一个比一个 “小”, 其中 $\varphi_{i}$ 是 $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}$ 的多项式。 设
\[
b x_{1}^{p_{1}} x_{2}^{p_{2}} \cdots x_{n}^{p_{n}}
\]
是(7) 中某一对称多项式的首项，于是(5)要先于它， 就有
\begin{equation*}
l_{1} \geqslant p_{1} \geqslant p_{2} \geqslant \cdots \geqslant p_{n} \geqslant 0 \tag{8}
\end{equation*}
适合条件 (8) 的 $n$ 元数组 $\left(p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}\right)$ 只能有有限多个， 因而 (7) 中也只能有有限多个对称多项式不为零， 即有正整数 $h$ 使 $f_{h}=0$. 
    这证明了，
  \[
  f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\varphi_{1}+\varphi_{2}+\cdots+\varphi_{n}
\]
可以表成初等对称多项式的一些单项式的和，也就是说， $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 可以表成初等对称多项式的一个多项式。 
\end{proof}

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实际上，还可以证明， 定理中的多项式 $\varphi\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$ 是被对称多项式 $f\left(x_{1}\right.$, $\left.x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 唯一确定的。 这个结果与定理~\ref{154}~合在一起通常称为\emph{对称多项式基本定理}。
\end{frame}


\begin{frame}

应该看到，证明的过程就是把一个对称多项式具体表为初等对称多项式的多项式的过程。


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\begin{example}%例 
我们来把三元对称多项式 $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}$ 表为 $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ 的多项式。
$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}$ 的首项为 $x_{1}^{3}$, 它所对应的有序数组为 $(3,0,0)$, 而
\[
\sigma_{1}^{3-0} \sigma_{2}^{0-0} \sigma_{3}^{0}=\sigma_{1}^{3} .
\]
作对称多项式
\[
x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-\sigma_{1}^{3}=-3\left(x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{2} x_{1}+\cdots\right)-6 x_{1} x_{2} x_{3},
\]
它的首项 $-3 x_{1}^{2} x_{2}$ 对应的有序数组为 $(2,1,0)$, 而
\[
-3 \sigma_{1} \sigma_{2}=-3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}\right)=-3\left(x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{2} x_{1}+\cdots\right)-9 x_{1} x_{2} x_{3} .
\]
因之
\[
x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-\sigma_{1}^{3}+3 \sigma_{1} \sigma_{2}=3 x_{1} x_{2} x_{3}=3 \sigma_{3},
\]
于是
\[
x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=\sigma_{1}^{3}-3 \sigma_{1} \sigma_{2}+3 \sigma_{3} .
\]
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
对 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, 差积的平方
\[
D=\prod_{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}
\]
是一个重要的对称多项式。按对称多项式基本定理， $D$ 可以表示成
\[
a_{1}=-\sigma_{1}, a_{2}=\sigma_{2}, \cdots, a_{k}=(-1)^{k} \sigma_{k}, \cdots, a_{n}=(-1)^{n} \sigma_{n}
\]
的多项式 $D\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$. 由根与系数的关系知， $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是
\begin{equation*}
f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n} \tag{9}
\end{equation*}
的根， 容易看出 $D\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=0$ 是方程 (9) 在复数域中有重根的充分必要条件。 我们称 $D\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 为一元多项式 (9) 的\emph{判别式}。

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\begin{example}
  按上面的方法， 直接计算即得
\[
f_1=x^{2}+a_{1} x+a_{2},\quad f_2= x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3}
\]
的判别式分别为
\[
  \begin{aligned}
    D(f_1)&= a_{1}^{2}-4 a_{2},\\
    D(f_2)&= a_{1}^{2} a_{2}^{2}-4 a_{2}^{3}-4 a_{1}^{3} a_{3}-27 a_{3}^{2}+18 a_{1} a_{2} a_{3} .
\end{aligned}
\]
\end{example}
\end{frame}

